[6-2] 최단거리 알고리즘 - 플로이드 워셜

[1] 플로이드 워셜 알고리즘

모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산

• 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행
  • 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 가는 노드를 찾는 과정이 필요 없음
• 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장
• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함

 

동작 과정

• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
  • : a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사

점화식

 

상세 동작 과정

[초기상태] 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화

• 현재 노드와 인접한 노드를 확인하여 테이블을 갱신하도록 함
• 2차원 테이블 : “노드 → 노드” 를 기록

[Step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신

1. k = 1
2. 2중 반복문을 이용해 모든 a에서 b로 가는 경우를 확인
   • 테이블에서 6개만 확인 (1번 노드에서 출발하는 경우와 자기 자신으로 가는 경우 제외)
3. 바로가는 경우와 1을 거쳐 가는 경우 계산하기

[Step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신

1. k = 2
2. 2중 반복문을 이용해 모든 a에서 b로 가는 경우를 확인
   • 테이블에서 6개만 확인 (2번 노드에서 출발하는 경우와 자기 자신으로 가는 경우 제외)
3. 바로가는 경우와 2을 거쳐 가는 경우 계산하기

[Step 3] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신

1. k = 3
2. 2중 반복문을 이용해 모든 a에서 b로 가는 경우를 확인
   • 테이블에서 6개만 확인 (3번 노드에서 출발하는 경우와 자기 자신으로 가는 경우 제외)
3. 바로가는 경우와 3을 거쳐 가는 경우 계산하기

[Step 4] 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신

1. k = 4
2. 2중 반복문을 이용해 모든 a에서 b로 가는 경우를 확인
   • 테이블에서 6개만 확인 (4번 노드에서 출발하는 경우와 자기 자신으로 가는 경우 제외)
3. 바로가는 경우와 4을 거쳐 가는 경우 계산하기

• 구현시 3중 반복문을 사용하여 구현

 

플로이드 워셜 알고리즘

파이썬

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(intput())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
		if a == b:
			graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
	# A에서 B로 가는 비용을 C라고 설정
	a, b, c = map(int, input().split())
	graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
	for a in range(1, n+1):
		for b in range(1, n+1):
			graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
		# 도달할 수 없는 경우 무한 출력
		if graph[a][b] == INF:
			print("INF", end=" ")
		# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
		else:
			print(graph[a][b], end=" ")
	print()

자바

import java.util.*;

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M)
    // 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
    public static int n, m;
    // 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
    public static int[][] graph = new int[501][501];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        for (int i = 0; i < 501; i++) {
            Arrays.fill(graph[i], INF);
        }

        // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                if (a == b) graph[a][b] = 0;
            }
        }

        // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            graph[a][b] = c;
        }

        // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int b = 1; b <= n; b++) {
                    graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
                }
            }
        }

        // 수행된 결과를 출력
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
                if (graph[a][b] == INF) {
                    System.out.print("INFINITY ");
                }
                // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
                else {
                    System.out.print(graph[a][b] + " ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

성능 분석

• 노드 개수 N개 일때 알고리즘 상 N번의 단계 수행
  • 각 단계마다 O(N^2) 연산을 통해 현재 노드를 거쳐가는 모든 경로 고려
• 시간복잡도
  • O(N^3)

 

 

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참고자료 및 출처

https://www.youtube.com/watch?v=acqm9mM1P6o&t=3031s